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AIによる発見史と人間による理解史──フェルマーの最終定理から考える科学の未来
こんにちは！代表取締役 兼 AIサービス開発室の鈴木生雄です。
最近、サイモン・シンの『フェルマーの最終定理』という本を読みました。
フェルマーの最終定理とは、
x^n + y^n = z^n
という方程式について、nが3以上の整数の場合には、これを満たす正の整数x、y、zは存在しない、というものです。
定理そのものは中学生でも意味を理解できるほどシンプルなのですが、17世紀にピエール・ド・フェルマーが問題を残してから、アンドリュー・ワイルズが証明するまで約350年もの時間を要しました。この本が面白いのは、最終的にワイルズが証明に成功したという結末だけではありません。何世代にもわたる数学者がこの問題に挑み、失敗し、別のアプローチを考え、その過程で新しい数学が生まれていく。その長い物語そのものが非常に魅力的なのです。ちょうどそんなことを考えていたところ、OpenAIが非常に興味深い発表をしました。
OpenAIは2026年9月21日、数学とAIに関する諮問グループの設置を発表しました。その背景として、同社は内部で開発中のAIモデルがナビエ–ストークス方程式のミレニアム懸賞問題を含め、100件を超える長年の未解決問題を解決したと報告しています。もちろん、個々の成果については今後数学界による検証が必要ですが、AIの数学能力が急速に高まっていることを象徴するニュースです。このニュースを見て、ふとこんなことを考えました。もしフェルマーの最終定理がまだ未解決だった時代に、現在のような生成AIが存在していたら、数学の歴史はどう変わっていたのでしょうか。
フェルマーの最終定理が生み出した数学
フェルマーの最終定理の歴史を振り返ると、この問題への挑戦が単に一つの定理の証明に向かって一直線に進んだわけではないことが分かります。フェルマー自身はn=4の場合について、ある解が存在すると仮定すると、それよりさらに小さい解が存在することになってしまうという「無限降下法」を用いた証明を残しました。
その後、オイラー、ディリクレ、ルジャンドル、ラメといった数学者が、n=3、5、7など個別の指数について証明を積み重ねていきました。ソフィー・ジェルマンはさらに一歩進め、指数を一つずつ攻略するのではなく、一定の条件を満たす素数をまとめて扱う一般的な方法を考えました。彼女の考え方は、その後のフェルマーの最終定理研究にも長く影響を与えています。
19世紀になると、さらに面白い出来事が起きます。ガブリエル・ラメらは、方程式を複素数へ拡張した世界で因数分解することによってフェルマーの最終定理を証明しようとしました。しかし、そこで「素因数分解が一意に決まる」という整数では当たり前だった性質が、拡張された数の世界では成立しないことが問題になります。
この障害に取り組んだのがエルンスト・クンマーでした。クンマーは「理想数」という概念を導入して一意分解の問題を扱い、この研究は後のイデアルの概念や代数的整数論の発展につながっていきます。つまり、フェルマーの最終定理を解こうとしてうまくいかなかったこと自体が、新しい数学を生み出したわけです。
そして20世紀には、物語はさらに意外な方向へ進みます。谷山豊や志村五郎らが研究していた楕円曲線とモジュラー形式の間には深い対応関係があるのではないか、という予想が、後になってフェルマーの最終定理と結びつきます。
ゲルハルト・フライが、もしフェルマーの最終定理に反例が存在すれば、そこから非常に特殊な楕円曲線を作れることを指摘し、ジャン＝ピエール・セールがその関係を精密化し、ケン・リベットが必要な部分を証明しました。これによって、「フェルマーの最終定理を直接証明する」という問題が、「ある種類の楕円曲線がモジュラーであることを証明する」という、まったく違う問題へ変換されます。
そしてアンドリュー・ワイルズが長年にわたって発展してきた楕円曲線、モジュラー形式、ガロア表現などの数学を組み合わせ、1990年代についに証明へたどり着きました。こうして歴史を振り返ると、フェルマーの最終定理の価値は「定理が正しいことが分かった」という一点だけにはありません。
むしろ350年間にわたって、
問題を解こうとする
↓
うまくいかない
↓
なぜうまくいかないのかを考える
↓
新しい概念が生まれる
↓
別の数学分野が発展する
↓
一見無関係だった分野同士がつながる
ということを繰り返してきたことに大きな価値があります。
もしフェルマーの時代に生成AIが存在していたら
ここからは完全な思考実験です。仮に17世紀に現在よりはるかに高度な数学AIが存在し、フェルマーが、「フェルマーの最終定理を証明して」と入力したとします。数分後にAIが完全な証明を返してきたらどうでしょう。
人類は350年待つ必要がなくなります。一見すると素晴らしいことです。しかし、少し考えてみると不思議な問題が出てきます。クンマーが一意分解の失敗に悩む必要もなかったかもしれません。フェルマーの最終定理をきっかけとして、代数的整数論を深く研究する動機も弱くなったかもしれません。もちろん、イデアルや楕円曲線、モジュラー形式といった数学はフェルマーの最終定理だけから生まれたものではありませんから、「AIが解いていたらこれらの数学は存在しなかった」と言うことはできません。しかし少なくとも、フェルマーの最終定理という巨大な山を登る途中で生まれた数々の寄り道や失敗、それによって生じた研究の連鎖は、大きく変わっていたでしょう。
ここに、AIによる科学研究の非常に面白い問題があると思います。AIが最短距離で答えへ到達することと、人類がその問題を深く理解することは、必ずしも同じではありません。
「AIによる発見史」と「人間による理解史」
このことについてChatGPTと壁打ちをしている中で、私には非常にしっくりくる整理ができました。これからの数学には、「AIによる発見史」と「人間による理解史」という二つの時間軸が生まれるのではないか、という考えです。
例えば2040年にAIがある非常に重要な定理を証明したとします。証明は形式的に検証され、正しいことは保証されている。しかし、その証明は100万ステップにも及び、なぜその証明方法でうまくいくのかを全体として理解できる人間はいない。この場合、「2040年に人類はこの定理を理解した」と言ってよいのでしょうか。
もしかすると、未来の数学史には次のように記録されるのかもしれません。
2040年 AIが定理を証明
2043年 AIが証明を大幅に簡略化
2048年 数学者が証明の中心となる概念を発見
2052年 理論体系として整理され、大学院で教育できるようになる
2057年 別の数学分野との本質的な関係が理解される
つまり、「数学的な知識が存在すること」と、「人間がその数学を理解していること」の間に時間差が生まれるわけです。これまでの数学では、数学を作る主体が基本的に人間だったため、この二つはほぼ同時に進んできました。AIが人間を超える速度で数学を発見するようになれば、この二つが初めて大規模に分離する可能性があります。
数学史という学問も変わる
そうなると、数学史という学問の研究対象も変わってくるでしょう。これまでの数学史では、「誰が、いつ、どんなアイデアを思いついたのか」「そのアイデアが他の数学者へどのように伝わったのか」「そこからどのような新しい数学が生まれたのか」といったことが重要な研究対象でした。しかしAIが研究主体になると、未来の数学史家が調べる史料には、論文や書簡だけではなく、AIに与えられたプロンプト、モデルのバージョン、エージェントの実行ログ、生成された証明候補、失敗した探索経路、人間がどこでAIの提案を採用・却下したのか、といったものまで含まれるようになるかもしれません。
特に重要なのは「失敗した探索経路」です。フェルマーの最終定理の歴史では、うまくいかなかった方法が新しい数学を生み出しました。ところがAIが数時間で100万通りの方法を試した場合、最終的な答えだけを保存してしまえば、その99万9999個の失敗は消えてしまいます。しかし、その中に人間がまだ気付いていない重要な数学的構造が含まれている可能性があります。AI時代の数学史では、完成した証明以上に「AIがどのように探索したのか」を保存することが重要になるのかもしれません。
これは数学だけの話ではない
そして、この話は数学に限ったことではないと思います。自然科学全般で同じことが起こる可能性があります。すでにその兆候は見え始めています。
Google DeepMindのAlphaFoldは、長年の難題だったタンパク質の立体構造予測を大きく前進させ、現在では2億を超えるタンパク質構造の予測データが公開されています。科学者が一つ一つ実験によって構造を決定していた時代とは、研究の速度がまったく違います。Googleはさらに、研究者の目的に応じて仮説や実験計画を提案する「AI co-scientist」の研究も進めています。ここではAIは単なる計算機ではなく、研究仮説を考えるところまで入り始めています。
今後、物理学、化学、材料科学、生物学などで、
AIが新しい現象や法則を発見する
↓
実験によって正しさが確認される
↓
しかし人間にはなぜそうなるのか分からない
↓
数年後、人間がその背後にある理論を構築する
ということが普通に起きるかもしれません。
そうなれば科学史にも、「AIがいつ発見したのか」という時間軸と、「人間がいつ理解したのか」という二つの時間軸が必要になります。
AIが科学を速くするほど、科学史は重要になる
一般的には、AIによって科学が急速に進歩すると聞くと、科学史のような過去を研究する学問の重要性は相対的に下がるように感じるかもしれません。私は逆なのではないかと思います。AIが大量の新しい定理、新しい物質、新しい法則、新しい仮説を高速に生み出すようになるほど、「その中で何が本当に重要だったのか」「どこで大きな概念転換が起きたのか」「その発見を人間がどう理解したのか」を整理する仕事が必要になるからです。
フェルマーの最終定理の場合、350年間という長い時間が自然に物語を作ってくれました。しかしAIは、その350年分の探索を数日や数時間に圧縮してしまうかもしれません。そうなったとき、人類がその探索過程を意識的に記録しておかなければ、「答え」だけが大量に残り、「なぜそこにたどり着いたのか」という物語が失われてしまいます。AIによって答えを得ることのコストが限りなく下がっていくとすれば、逆に価値が高くなるのは、なぜその問いが重要なのかを考えること。発見されたものの意味を理解すること。異なる知識同士の関係を見つけること。そして、その知識を次の世代が理解できる形に整理すること。なのではないでしょうか。
これは、最近私がコーディングエージェントについて考えていることとも少し似ています。AIがコードを爆速で生成できるようになると、人間のエンジニアの価値は「コードを書くこと」だけではなく、何を作るべきかを考え、AIが作ったものを理解し、設計し、評価することへ移っていきます。科学でも同じことが起きるのかもしれません。AIが「発見」を担うようになったとき、人間の役割はなくなるのではなく、「理解」の側へ移っていく。そう考えると、これからの科学史は単なる過去の記録ではなく、AIが発見した知識を、人類がどのように自分たちの理解へ取り込んでいったのかを記録する学問になっていくのかもしれません。
「AIによる発見史」と「人間による理解史」。これから何十年かの科学を眺めるうえで、この二つの時間軸を意識しておくと、非常に面白いのではないかと思っています。
対象エピソード：
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